Показательная форма записи комплексного числа.

Если $r$ - модуль, а $\varphi$ - аргумент комплексного числа, то запись $re^{i\varphi}$ - **показательной формой** этого числа.

**Умножение и деление:** Если $z_{1}=r_{1}e^{i\varphi_{1}}$ и $z_{2}=r_{2}e^{i\varphi_{2}}$, то: $$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi_{1}+\varphi_{2})} ~~\land~~ \dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}e^{i(\varphi_{1}-\varphi_{2})}$$ **Формула Муавра:** Формула Муавра превращается в обычное правило произведения в степень: $$(re^{i\varphi})^{n}=r^{n}e^{in\varphi}$$ **Натуральный логарифм:** В силу равенства $z=re^{i\varphi}$ естественно определить натуральный логарифм комплексного числа $z$ формулой: $$\ln z:=\ln r+i\varphi$$ Отметим, что натуральный логарифм комплексного числа – многозначная функция (в силу многозначности аргумента). Попытка выбрать какое-то одно «правильное» значение логарифма разрушит самое полезное свойство этой функции, а именно: $$\ln(z_{1}z_{2})=\ln z_{1}+\ln z_{2}$$ **Возведение в степень:** Степень любого ненулевого комплексного числа $\alpha$ с любым комплексным показателем $\beta$ естественно определить так: $\alpha^\beta := e^{\beta~ln \alpha}$